Sea f una
relación de A en B. Entonces f es una función de A en B (denotado f : A
! B y se lee “f es una función de A en B”) si y sólo si:
a) Dom(f)
= A
b) 8 x 2 A, 8 y;
z 2 B [(x; y) 2 f ^ (x; z) 2 f] ! y = z.
En palabras, lo anterior dice que si f es una relación de A en B tal que para cada x 2
A existe exactamente un y 2 B tal que (x; y) 2 f,
entonces f es una función.
La condición a) garantiza que para cada x 2 A existe al menos un tal “y”
y la condición b) garantiza que hay a
lo más uno. Así, tomados juntos, hay exactamente uno.
Si f
es una función de A en B entonces la “propiedad funcional”
de cada x 2 A relacionado a exactamente un y 2 B permite el uso
de la notación funcional
y = f(x).
La mayoría de las funciones conocidas en
cálculo son dadas por una fórmula. Sin embargo esto no es necesario y, en
general en matemática, las funciones no están dadas por fórmulas.
Es de resaltar que el nombre de la función
es f y que f(x) no es el nombre de la función sino un elemento de B.
Si y
= f(x) entonces decimos que y es la imagen de x y
que x es una Pre-imagen de y.
Puedes entender
una función como una manera de conectar elementos de un conjunto "A" a
los de otro conjunto "B":
"Injectivo"
significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de
"A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos
de "B" tengan alguno en "A").
"Sobreyectivo"
significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de
"A" (a lo mejor más de uno).
"Biyectivo"
significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia
perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.
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