Las relaciones de equivalencia son
relaciones entre los elementos de un elemento cualquiera. Se caracterizan por
abstraer el concepto de igualdad.
Su definición formal es la siguiente:
Sea “K” un conjunto dado no vacío y “R” una relación binaria definida sobre “K”.
Se dice que “R” es una relación de
equivalencia si cumple las siguientes propiedades:
Reflexividad: Todo elemento de “K” está relacionado consigo
mismo. Es decir,
Simetría: Si un elemento de “K” está relacionado con
otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el primero. Es decir
Transitividad: Si un elemento de “K” está relacionado con otro, y
ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará
relacionado también con este último. Es decir,
CLASES
DE EQUIVALENCIA
La importancia de las relaciones consiste en que dividen a los elementos
del conjunto en diferentes clases, llamadas clases de equivalencia, de
tal suerte que cada elemento pertenece a una y sólo una clase.
Tomemos un conjunto cualquiera X y
sean a y b dos elementos en X (lo cual denotamos por a,b Ç X). Si a está relacionado con b escribiremos a-b.
Una relación de equivalencia en X es
una relación que satisface las propiedades antes mencionadas.
Sea x un conjunto con una relación
de equivalencia -. Tomemos un elemento a de nuestro conjunto X, es
decir aÇX.
La clase de equivalencia de a, la cual denotaremos por {a}, es
el subconjunto de X formado por todos los
elementos b de X que están relacionados con
a, es decir b-a. En
símbolos, esto se escribe así:
De todo elemento en {a}. (por
ejemplo a)
decimos que es un representante de la clase Las relaciones
de equivalencia son relaciones entre los elementos de un elemento cualquiera.
Se caracterizan por abstraer el concepto de igualdad.
Su definición formal es la siguiente:
Sea “K” un conjunto dado no vacío y “R” una relación
binaria definida sobre “K”.
Se dice que “R” es una relación de equivalencia si
cumple las siguientes propiedades:
Reflexividad: Todo elemento de “K” está relacionado
consigo mismo. Es decir, {a}.
PARTICIONES
La partición de un conjunto es tan simple
como dividir el mismo en conjuntos más pequeños formados por elementos de él
mismo, es decir, en subconjuntos. Aquí no se toma en cuenta el conjunto vacío.
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