Relaciones Reflexivas
e Irreflexivas
Una relación R en un conjunto A es reflexiva si (a, a) £ R
para todas las a £ A, esto es, si a R e para todas las a e A. Una relación R en
un conjunto A es irreflexiva si a R a para toda a £ A.
Por consiguiente, R es reflexiva si cada elemento a e A está
relacionado consigo mismo y es irreflexiva si ningún elemento está relacionado
consigo mismo.
Ejemplo:
(a) Sea Δ = [(a, a)\ a £ A], de modo que A es la relación de
igualdad en el conjunto A. Entonces A es reflexiva, ya que (a, a) £ Δ para
todas las a e A.
(b) Sea R = {(a, b) e A x A | a + b}, R es la relación de
desigualdad en el conjunto A. Entonces R es irreflexible, ya que (a, a) £ R
para todas las x € A.
Relaciones Simétricas
y Asimétrica
Una relación R en un conjunto A es simétrica si cuando a R
b, entonces b R a. De esto se sigue que R no es simétrica se tiene a y b € A
con a R b, pero b R a. Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando
a R b, entonces b Ra. De esto se sigue que R no es simétrica si se tiene a y b
e A con ambos a R b y b R a.
Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R
b y b R a, entonces a = b. Otra forma de expresar esta definición es diciendo
que R es anti simétrica si cuando a ≠ b, se tiene a R b o b R a. De esto se
sigue que R no es anti simétrica si se tiene a y b en A. a ≠ b, y ambas a R b y
b R a.
Ejemplo:
Sea A «=
[a, b, c, d, e} y sea R la relación simétrica dada por
R = {(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b), (b, e),
(e, b), (e, a), (a, e), (c,a), (a,c)}
Relaciones Transitivas
Se dice que una relación R en un conjunto A es transitiva si
cuando a R b y b R e, entonces a R c. Se sigue que R no es transitiva si y sólo
si se puede encontrar elemento a, b y c en A tal que a R b y b R c, pero a R c.
Una relación R en un conjunto A es transitiva si y sólo si
satisface las siguientes propiedades: Si existe una trayectoria de longitud
mayor que 1 del vértice a al vértice b, hay una trayectoria de extensión 1 de a
a b (esto es, a está relacionada con b). Establecido algebraicamente, R es
transitiva si y sólo si Rn £ R para todas las n ≥ 1.
Es posible caracterizar la relación transitiva por su matriz
MR = [mij] así:
si mij =1 y mjk = 1, entonces mik = 1
Para ver qué significa transitividad en términos del grafo
dirigido de una relación, se traducirá esta definición a términos geométricos.
Si se examinan los vértices particulares a y c, las
condiciones a R b y b R c ocurrirán si y sólo si existe una trayectoria de longitud 2
de a a c, esto es, si y sólo si a R2 c. Es posible replantear la definición de
transitividad como sigue: Si a R2 c, entonces a R c, esto es, R2 £ R (como un
subconjunto de A x A).